Dos Problemas Con Un Tema

Nuestro primer problema es muy antiguo; data el gran cientifico griego Arquimides, Nos referimos a ese problema como el de la linea tangente.
Nuestro segundo problema es mas reciente. Crecio con los intentos de Kepler, Galileo, Newton y otros, por describir la velocidad de un cuerpo movil. Es el problema de la velocidad instantanea.
los dos problemas, uno geometrico y el otro mecanico parecen no tener mucha relacion. en este caso, las apariencias son erroneas. ambos problemas son gemelos identicos.
LA LINEA TANGENTE.
la nocion de euclides de una tangente como una linea que toca a una curva en un solo punto esta bien para el circulo pero es del todo insatisfactoria para la mayoria de las demas curvas. es mejor la idea de tangente en P a una curva como la recta que mejor se aproxima a ella en las cercanias de P, pero todavia es muy vaga para la presicion matematica. el concepto de limite proporciona el modo de alcanzar la mejor descripcion.
sea P un punto fijo y sea Q un punto movil de esa curva, proximo a P.considerese la recta que pasa por P y Q llamada secante. la recta tangente en P es la posicion limite de la secante, cuando Q se mueve hacia P a lo largo de la curva.
supongase que la curva es la grafica de la ecuacion y= f(x). entonces, P tiene como coordenadas (c,f(c)), y el punto cercano Q tiene como coordenadas (c+h,f(c+h); la linea secante que pasa por P y Q tiene como pendiente msec dado por:
VELOCIDAD INSTANTANEA:
si conducimos un automovil de un pueblo a otro durante 80 millas en dos horas, nuestra velocidad promedio sera de 40 millas por hora.es decir, la velocidad promedio es la distancia entra la primera posicion y la segunda, dividida entre el tiempo consumido. pero durante nuestro viaje, el velocimetro con frecuencia marco lecturas diferentes de 40. al principio, registraba 0; aveces subio hasta 57, al final regreso a cero otravez.
¿que es lo que en realidad mide el velocimetro?es cierto que no indica la velocidad media.considerese el objeto mas preciso de un objeto P que cae en el vacio.
los experimentos demuestran que si empieza en el reposo, P cae 16t2 pies en T segundos. entonces, cae 16 pies en el primer segundo y 64 en los primeros 2 segundos; claro esta que cae mucho mas rapido a medida que transcurre el tiempo.
durante el segundo ( es decir, en el intervalo de t = 1 a t = 2, P cae(64-16) pies. su velocidad promedio es de 48 pies por segundo.
durante el intervalo t= 1 a t=1.5, cae 16 (1.5)2 - 16 = 20 pies.
su velocidad promedio fue de 40 pies por segundo.

formulas de derivacion

F´ormulas de derivaci´on
En la siguiente tabla las letras f; g; h denotan funciones de x, en tanto a; c; representan
constantes reales y n denota un n´umero natural fijo.
Los argumentos de las funciones trigonom´etricas est´an expresados en radianes.
1. Derivada de una constante por una funci´on:
d
dx
(c ¢ f) = c ¢
df
dx
2. Derivada de una suma de funciones:
d
dx
(f + g) =
df
dx
+
dg
dx
3. Derivada de un producto de funciones:
d
dx
(f ¢ g) = f ¢
dg
dx
+ g ¢
df
dx
4. Derivada de un cuociente de funciones:
d
dx
Ã
f
g
!
=
g
df
dx ¡ f
dg
dx
g2
5. Derivada de una compuesta de funciones o regla de la cadena:
d
dx
(g ± f) (x) =
dg
dx
(f(x)) ¢
df
dx
Derivadas de funciones b´asicas
1.
d
dx
(c) = 0
2.
d
dx
(x) = 1
3.
d
dx
(xr) = rxr¡1; r 2 IR:
4.
d
dx
(sen x) = cos x
5.
d
dx
(cos x) = ¡sen x
6.
d
dx
(tan x) = sec2 x
7.
d
dx
(cot x) = ¡cosec2 x
8.
d
dx
(sec x) = sec x tan x
9.
d
dx
(cosec x) = ¡cosec x ¢ cot x
10.
d
dx
(arc sen x) =
1
p1 ¡ x2
; ; ;
µ
¡
¼
2 · arc sen x ·
¼
2
¶
11.
d
dx
(arc cos x) = ¡
1
p1 ¡ x2
; (0 · arc cos x · ¼)
12.
d
dx
(arctan x) =
1
1 + x2 ; ¡
¼
2 · arctan x ·
¼
2
13.
d
dx
(arccotan x) = ¡
1
1 + x2 ; 0 · arccotan x · ¼
14.
d
dx
(arcsec x) =
1
jxjpx2 ¡ 1
; 0 · arcsec x <
¼
2
;
¼
2
< arcsec x · ¼
15.
d
dx
(arccosecx) = ¡
1
jxjpx2 ¡ 1
; ¡
¼
2 · arccosecx < 0 ; 0 < arccosecx ·
¼
2
:
16.
d
dx
(ln x) =
1
x
17.
d
dx
(ex) = ex
18.
d
dx
(loga x) = (loga e) ¢
1
x
19.
d
dx
(ax) = ln a ¢ ax
20. Las derivadas de las funciones hiperb´olicas.
d
dx
cosh x = senh x;
d
dx
senh x = cosh x ;
d
dx
tanh x = sech2x
d
dx
coth x = ¡ sec h2x;
d
dx
sech x = ¡sech tanh x;
d
dx
cosech x = ¡cosech cotanh x
21. Las derivadas de las funciones hiperb´olicas inversas.
d
dx
arc cosh x =
1
px2 ¡ 1
;
d
dx
arc senh x =
1
px2 + 1
d
dx
arc tanh x =
1
1 ¡ x2 ; x2 < 1
d
dx
arc coth x =
1
1 ¡ x2 ; x2 > 1
d
dx
(arcsechx) = ¡
1
xp1 ¡ x2
; 0 < x < 1;
d
dx
(arccosechx) = ¡
1
xp1 + x2
; x > 0

linea del tiempo en la histoia del calculo

linea del tiempo en la histoia del calculo