Dos Problemas Con Un Tema

Nuestro primer problema es muy antiguo; data el gran cientifico griego Arquimides, Nos referimos a ese problema como el de la linea tangente.
Nuestro segundo problema es mas reciente. Crecio con los intentos de Kepler, Galileo, Newton y otros, por describir la velocidad de un cuerpo movil. Es el problema de la velocidad instantanea.
los dos problemas, uno geometrico y el otro mecanico parecen no tener mucha relacion. en este caso, las apariencias son erroneas. ambos problemas son gemelos identicos.
LA LINEA TANGENTE.
la nocion de euclides de una tangente como una linea que toca a una curva en un solo punto esta bien para el circulo pero es del todo insatisfactoria para la mayoria de las demas curvas. es mejor la idea de tangente en P a una curva como la recta que mejor se aproxima a ella en las cercanias de P, pero todavia es muy vaga para la presicion matematica. el concepto de limite proporciona el modo de alcanzar la mejor descripcion.
sea P un punto fijo y sea Q un punto movil de esa curva, proximo a P.considerese la recta que pasa por P y Q llamada secante. la recta tangente en P es la posicion limite de la secante, cuando Q se mueve hacia P a lo largo de la curva.
supongase que la curva es la grafica de la ecuacion y= f(x). entonces, P tiene como coordenadas (c,f(c)), y el punto cercano Q tiene como coordenadas (c+h,f(c+h); la linea secante que pasa por P y Q tiene como pendiente msec dado por:
VELOCIDAD INSTANTANEA:
si conducimos un automovil de un pueblo a otro durante 80 millas en dos horas, nuestra velocidad promedio sera de 40 millas por hora.es decir, la velocidad promedio es la distancia entra la primera posicion y la segunda, dividida entre el tiempo consumido. pero durante nuestro viaje, el velocimetro con frecuencia marco lecturas diferentes de 40. al principio, registraba 0; aveces subio hasta 57, al final regreso a cero otravez.
¿que es lo que en realidad mide el velocimetro?es cierto que no indica la velocidad media.considerese el objeto mas preciso de un objeto P que cae en el vacio.
los experimentos demuestran que si empieza en el reposo, P cae 16t2 pies en T segundos. entonces, cae 16 pies en el primer segundo y 64 en los primeros 2 segundos; claro esta que cae mucho mas rapido a medida que transcurre el tiempo.
durante el segundo ( es decir, en el intervalo de t = 1 a t = 2, P cae(64-16) pies. su velocidad promedio es de 48 pies por segundo.
durante el intervalo t= 1 a t=1.5, cae 16 (1.5)2 - 16 = 20 pies.
su velocidad promedio fue de 40 pies por segundo.

formulas de derivacion

F´ormulas de derivaci´on
En la siguiente tabla las letras f; g; h denotan funciones de x, en tanto a; c; representan
constantes reales y n denota un n´umero natural fijo.
Los argumentos de las funciones trigonom´etricas est´an expresados en radianes.
1. Derivada de una constante por una funci´on:
d
dx
(c ¢ f) = c ¢
df
dx
2. Derivada de una suma de funciones:
d
dx
(f + g) =
df
dx
+
dg
dx
3. Derivada de un producto de funciones:
d
dx
(f ¢ g) = f ¢
dg
dx
+ g ¢
df
dx
4. Derivada de un cuociente de funciones:
d
dx
Ã
f
g
!
=
g
df
dx ¡ f
dg
dx
g2
5. Derivada de una compuesta de funciones o regla de la cadena:
d
dx
(g ± f) (x) =
dg
dx
(f(x)) ¢
df
dx
Derivadas de funciones b´asicas
1.
d
dx
(c) = 0
2.
d
dx
(x) = 1
3.
d
dx
(xr) = rxr¡1; r 2 IR:
4.
d
dx
(sen x) = cos x
5.
d
dx
(cos x) = ¡sen x
6.
d
dx
(tan x) = sec2 x
7.
d
dx
(cot x) = ¡cosec2 x
8.
d
dx
(sec x) = sec x tan x
9.
d
dx
(cosec x) = ¡cosec x ¢ cot x
10.
d
dx
(arc sen x) =
1
p1 ¡ x2
; ; ;
µ
¡
¼
2 · arc sen x ·
¼
2
¶
11.
d
dx
(arc cos x) = ¡
1
p1 ¡ x2
; (0 · arc cos x · ¼)
12.
d
dx
(arctan x) =
1
1 + x2 ; ¡
¼
2 · arctan x ·
¼
2
13.
d
dx
(arccotan x) = ¡
1
1 + x2 ; 0 · arccotan x · ¼
14.
d
dx
(arcsec x) =
1
jxjpx2 ¡ 1
; 0 · arcsec x <
¼
2
;
¼
2
< arcsec x · ¼
15.
d
dx
(arccosecx) = ¡
1
jxjpx2 ¡ 1
; ¡
¼
2 · arccosecx < 0 ; 0 < arccosecx ·
¼
2
:
16.
d
dx
(ln x) =
1
x
17.
d
dx
(ex) = ex
18.
d
dx
(loga x) = (loga e) ¢
1
x
19.
d
dx
(ax) = ln a ¢ ax
20. Las derivadas de las funciones hiperb´olicas.
d
dx
cosh x = senh x;
d
dx
senh x = cosh x ;
d
dx
tanh x = sech2x
d
dx
coth x = ¡ sec h2x;
d
dx
sech x = ¡sech tanh x;
d
dx
cosech x = ¡cosech cotanh x
21. Las derivadas de las funciones hiperb´olicas inversas.
d
dx
arc cosh x =
1
px2 ¡ 1
;
d
dx
arc senh x =
1
px2 + 1
d
dx
arc tanh x =
1
1 ¡ x2 ; x2 < 1
d
dx
arc coth x =
1
1 ¡ x2 ; x2 > 1
d
dx
(arcsechx) = ¡
1
xp1 ¡ x2
; 0 < x < 1;
d
dx
(arccosechx) = ¡
1
xp1 + x2
; x > 0

linea del tiempo en la histoia del calculo

linea del tiempo en la histoia del calculo

Historia del calculo.

Historia del Cálculo.


Para los romanos en tiempos del imperio el calculus era una pequeña piedra utilizada para contar y para apostar; en la actualidad, significa lo mismo en el lenguaje coloquial médico.
Siglos más tardes, calculare significaba calcular, contar o resolver. En la era moderna en todos los campos del conocimiento la palabra cálculo denota una reformulación de las matemàticas elementales potenciadas con el concepto de lìmites; en otras palabras, el càlculo toma las ideas fundamentales de la matemàtica elemental y la extrapola a situaciones màs generales.
En general el termino cálculo (del latín calculus = piedra) hace referencia, indistintamente, a la acción o el resultado correspondiente a la acción de calcular. Calcular, por su parte, consiste en realizar las operaciones necesarias para prever el resultado de una acción previamente concebida, o conocer las consecuencias que se pueden derivar de unos datos previamente conocidos.
No obstante, el uso más común del término cálculo es el lógico-matemático. Desde esta perspectiva, el cálculo consiste en un procedimiento mecánico, o algoritmo, mediante el cual podemos conocer las consecuencias que se derivan de unos datos previamente conocidos.
De la Roma Clásica a la Edad Media
El término "cálculo" procede del latín calculum, piedrecita que se mete en el calzado y que produce molestia. Precisamente tales piedrecitas ensartadas en tiras constituían el ábaco romano que, junto con el suwanpan japonés, constituyen las primeras máquinas de calcular en el sentido de contar.
Los antecedentes de procedimiento de cálculo, como algoritmo, se encuentran en los que utilizaron los geómetras griegos, Eudoxo en particular, en el sentido de llegar por aproximación de restos cada vez más pequeños, a una medida de figuras curvas; así como Diofanto precursor del álgebra.
La consideración del cálculo como una forma de razonamiento abstracto aplicado en todos los ámbitos del conocimiento se debe a Aristóteles, quien en sus escritos lógicos fue el primero en formalizar y simbolizar los tipos de razonamientos categóricos (silogismos). Este trabajo sería completado más tarde por los estoicos, los megáricos, la Escolástica.
El algoritmo actual de cálculo aritmético como universal es fruto de un largo proceso histórico a partir de las aportaciones de Muhammad ibn Musaal-Jwarizmi en el siglo IX.
Se introdujo el 0, ya de antiguo conocido en la India y se construye definitivamente el sistema decimal de diez cifras con valor posicional de las mismas, introducido en Europa por los árabes. La escritura antigua de números en Babilonia, en Egipto, en Grecia o en Roma, hacía muy difícil un procedimiento mecánico de cálculo.
El sistema decimal fue muy importante para el desarrollo de la contabilidad de los comerciantes de la Baja Edad Media, en los inicios del capitalismo.
El concepto de función por tablas ya era practicado de antiguo pero adquirió especial importancia en la Universidad de Oxford en el siglo XIV.La idea de un lenguaje o algoritmo capaz de determinar todas las verdades, incluidas las de la fe, aparecen en el intento de Raimundo Lulio en su Ars Magna
A fin de lograr una operatividad mecánica se confeccionaban unas tablas a partir de las cuales se podía generar un algoritmo prácticamente mecánico. Este sistema de tablas ha perdurado en algunas operaciones durante siglos, como las tablas de logaritmos, o las funciones trigonométricas; las tablas venían a ser como la calculadora de hoy día; un instrumento imprescindible de cálculo. Las amortizaciones de los créditos, por ejemplo, se calculaban a partir de tablas elementales hasta la aplicación de la informática en los bancos en el tercer tercio del siglo XX.
A finales de la Edad Media la discusión entre los partidarios del ábaco y los partidarios del algoritmo se decantó claramente por estos últimos. De especial importancia es la creación del sistema contable por partida doble inventado por Luca Pacioli fundamental para el progreso del capitalismo en el Renacimiento